復習と備忘録

ブログ開始しました。

しばらくは復習&備忘録を書いていきたいと思います。

S_{t}: \text{t時点の株価指数} \hspace{5pt}(0\leq t < \infty)
とするとBSでの株価のSDEは
\begin{equation}dS_{t}=\mu{･}S_{t}{･}dt+\sigma{･}S_{t}{･}dW_{t}\end{equation}
を仮定する.尚、W_{t},(0\leq t < \infty)はウィーナー過程.
ここでこのSDEの解S_{t}のある汎関数F(S_{t},t)の従うSDEを計算する.
F(S_{t+dt},t+dt)=F(S_{t},t)+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}dS_{t}+\frac{\partial F}{\partial t}dt+{･･･}

伊藤の公式より

\begin{align}dF(S_{t},t)&\equiv F(S_{t+dt},t+dt)-F(S_{t},t)\\ &= \frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}dS_{t} + \frac{1}{2}\frac{{\partial}^2 F}{\partial {S_{t}}^2}(dS_{t})^2 \end{align}

ここで
dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW{t}
\begin{align}(dS_{t})^2 &=\mu^2{S_{t}}^2(dt)^2+2\mu\sigma(S_{t})^2(dt)(dW_{t})+\sigma^2{S_{t}}^2(dW_{t})^2\\&=\sigma^2{S_{t}}^2 dt \end{align}
より

dF(S_{t},t)= \left(\frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}\mu S_{t} + \frac{1}{2}\frac{{\partial}^2 F}{\partial {S_{t}}^2}\sigma^2(S_{t})^2 \right)dt+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}\sigma S_{t}dW_{t}

よって、対数価格F(S_{t},t)=\ln(S_{t})とすると
\frac{d}{dS_{t}}F(S_{t},t)=\frac{1}{S_{t}}および\frac{d^2}{d{S_{t}}^2}F(S_{t},t)=\frac{-1}{{S_{t}}}^2より、

dF(S_{t},t)=(\mu-\frac{\sigma^2}{2}){･}dt+\sigma{･}dW_{t}

これは正規分布\Phi((\mu-\frac{\sigma^2}{2}),\sigma^2)に従う.

ここでT_{\{t\leq T}\}時点の株価は

\begin{align}\int^{T}_{t}dF_u&=F_{T}-F_{t}\\ &=\int^{T}_{t}(\mu-\frac{\sigma^2}{2})du+\int^{T}_{t}\sigma dW_{u}\\&=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma W\sqrt{T-t} \end{align}

S_{T}=S_{t}e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma W\sqrt{T-t}}