Riskless portfolio2

さて前回は原資産とオプションを組み合わせたポートフォリオを考え、購入総額、つまり価値変動は以下で表されるのでした。
\frac{d\Pi}{\Pi}= (w_{C}{･}\mu_{C}+w_{F}{･}\mu_{F})dt+ (w_{C}{･}\sigma_{C}+w_{F}{･}\sigma_{F})dW_{t}

ここでリスクレスポートフォリオを考えた資産ウェイトを考えると
\frac{d\Pi}{\Pi}= (w_{C}{･}\mu_{C}+w_{F}{･}\mu_{F})dt
のように先の式の第1項部分のみで第2項のウィーナー過程の項が無い、つまり不確実変動の無いリスクレスポートフォリオの変動となります。

リスクの無い変動なのでリスクフリーレートと等しくないといけません。
したがってリスクフリーレートをr_fとすると
w_{C}{･}\mu_{C}+w_{F}{･}\mu_{F} = r_f
となりますので先の資産ウェイトを代入すれば、
\frac{\sigma_{F}\mu_{C}}{\sigma_{F}-\sigma{C}}-\frac{\sigma_{C}\mu_{F}}{\sigma_{F}-\sigma{C}}=r_f
となります。

PRML2.9

この演習問題ではディリクレ分布が正規化されていることを、帰納法によって証明する.ディリクレ分布でM=2とした特殊な場合であるベータ分布が正規化されていることは、演習問題2.5で既に示した.
\int^{1}_{0}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \ \ (1)
次にディリクレ分布がM-1変数の場合に正規化されているとの仮定の下、M変数でも正規化されていることを証明する.これにはまず、M変数のディリクレ分布から、\Sigma^{M}_{k=1}\mu_k=1の制約を使って\mu_Mを除去して、ディリクレ分布を
P_{M}(\mu_1,...,\mu_{M-1})=C_{M}\prod^{M-1}_{k=1}\mu_{k}^{\alpha_{k}-1}\left(1-\sum^{M-1}_{j=1}\mu_{j}\right)^{\alpha_{M}-1}
と書く.すると、あとはC_Mを表す式を求めればよい.これには、この式を、範囲に注意しつつ\mu_{M-1}について積分し、さらに、この積分の範囲が0から1となるように変数を置換する.C_{M-1}での結果が正しいと仮定して(1)式を用いて、C_{M}の式を導出せよ.

◆証明
M=2のときは演習2.5より成立していることが分かる.

M=N-1で成立していると仮定し、M=Nの場合、
P_N(\mu_{1},{...},\mu_{N})=C_N\prod^{N}_{k=1}\mu^{a_N}_k
で正規化されていることを証明する.

N変数のディリクレ分布から\sum^{N}_{k=1}\mu_{k}=1より、
\sum^{N-1}_{k=1}\mu_{k}+\mu_N=1、つまり\mu_N=1-\sum^{N-1}_{k=1}\mu{k}.
よって、
P_{N}(\mu_{1},{...},\mu_{N})=C_{N}\prod^{N-1}_{k=1}\mu^{a_k-1}_{k} \left(1-\sum^{N-1}_{j=1}\mu_{j}\right)^{a_N-1}

と\mu_{N-1}でM=Nの確率密度関数を表すことが出来る.
P_{N-1}(\mu_{1},{...},\mu_{N-2})=\int^{\mu_{N-1}}_{0}P_N(\mu_{1},{...},\mu_{N-1})d\mu_{N-1} \ \ (2)

ここでM=N-1のとき\sum^{N-1}_{j=1}\mu_{j}=1より、\mu_{N-1}=1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu{j}となるため、
P_{N-1}(\mu_{1},{...},\mu_{N-2})=\int^{1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu{j}}_{0}C_N\prod^{N-1}_{k=1}\mu^{a_k-1}_{k}\left(1-\sum^{N-1}_{j=1}\mu_{j}\right)^{\alpha_{N}-1}d\mu_{N-1}
ここで\mu_{N-1}=t\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)と変数変換すると、
d\mu_{N-1}=\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)dtで
積分区間は\mu_{N-1}:0→1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_jからt:0→1となる.

よって(2)は
P_{N-1}(\mu_{1},{...},\mu_{N})\\ =\int^{1}_{0}C_N\prod^{N-2}_{j=1}\mu_{ｊ}^{a_j-1}・\mu^{a_{N-1}-1}_{N-1}\left(1-\left(\sum^{N-2}_{j=1}\mu_{j}+\mu_{N-1}\right)\right)^{a_N-1}d\mu_{N-1}\nonumber \\ =\int^{1}_{0}C_N\left(\prod^{N-2}_{j=1}\mu_{ｊ}^{a_j-1}\right)\left(t\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)\right)^{a_{N-1}-1}\left(1-\left(\sum^{N-2}_{j=1}\mu_{j}+t\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)\right)\right)^{a_N-1}\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)dt\nonumber\\ =\int^{1}_{0}C_N\left(\prod^{N-2}_{j=1}\mu_{ｊ}^{a_j-1}\right)\left(t\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)\right)^{a_{N-1}-1}\left((1-t)\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)\right)^{a_N-1}\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)dt\nonumber\\ =C_N\left(\prod^{N-2}_{j=1}\mu_{ｊ}^{a_j-1}\right)\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)^{a_{N-1}-1}\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)^{a_N-1}\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)\int^{1}_{0}t^{a_{N-1}-1}(1-t)^{a_N-1}dt\nonumber\\ =C_N\left(\prod^{N-2}_{j=1}\mu_{ｊ}^{a_j-1}\right)\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)^{a_{N-1}+a_{N}-1}\int^{1}_{0}t^{a_{N-1}-1}(1-t)^{a_N-1}dt\nonumber\\ =C_N\left(\prod^{N-2}_{j=1}\mu_{ｊ}^{a_j-1}\right)\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\mu_j\right)^{a_{N-1}+a_{N}-1}\frac{\Gamma(a_{N-1})\Gamma(a_{N})}{\Gamma(a_{N-1}+a_{N})} \ \ (3)

ここでM=N-1で正規化されていることを仮定しているので、
P_{N-1}(\mu_{1},{...},\mu_{N-2})=\frac{\Gamma(a_{1}+{…}+a_{N-1})}{\Gamma(a_{1})\cdot\cdot\cdot\Gamma(a_{N-2})\Gamma(a_{N-1})}\prod^{N-2}_{k=1}\mu_{k}^{a_k-1}\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\right)^{a_{N-1}-1}\nonumber\\ =\frac{\Gamma(a_{1}+{…}+a_{N-1}+a_{N})}{\Gamma(a_{1})\cdot\cdot\cdot\Gamma(a_{N-2})\Gamma(a_{N-1}+a_{N})}\prod^{N-2}_{k=1}\mu_{k}^{a_k-1}\left(1-\sum^{N-2}_{j=1}\right)^{a_{N-1}+a_{N}-1}

これが(3)と等しくなるため、
C_N\frac{\Gamma(a_{N-1})\Gamma(a_{N})}{\Gamma(a_{N-1}+a_{N})}=\frac{\Gamma(a_{1}+{…}+a_{N-1}+a_{N})}{\Gamma(a_{1})\cdot\cdot\cdot\Gamma(a_{N-2})\Gamma(a_{N-1}+a_{N})}

C_N=\frac{\Gamma(a_{1}+{…}+a_{N-1}+a_{N})}{\Gamma(a_{1})…\Gamma(a_{N-2})\Gamma(a_{N-1}+a_{N})}･\frac{\Gamma(a_{N-1}+a_{N})}{\Gamma(a_{N-1})\Gamma(a_{N})}\nonumber\\ =\frac{\Gamma(a_{1}+{…}+a_{N-1}+a_{N})}{\Gamma(a_{1})\cdot\cdot\cdot\Gamma(a_{N-2})\Gamma(a_{N-1})\Gamma(a_{N})}
となり、M=Nの場合も成立するため、帰納法よりディリクレ分布が正規化されていることが証明された.

プロシージャの備忘

ブログ全く続かず...
今年はなかなか手に入らないリアルアセットのデータで学会発表なぞもしておりました。
でも1200万件のデータ操作が必要となり、EXCELは当然無理だし、Accessはなんかタルいなぁと。エディタで加工しようにもフリーのものはほとんど動かない...Rのdplyrはサクサク動いてくれるけど、もう少しデータの下ごしらえをしっかりやって、Rには仕上げだけやってもらいたい、とか何とか考えて、データハンドリングのためにMYSQL に手を出してみました。いまさらだけど。

ピンとこないことはたくさんあるが（地頭は残念な感じなので...）、割とすんなり入れた。
でもやはり日付関連の操作は苦戦。中でも月毎にデータを切り出してアウトプットというのをクライアントプログラム使わずプロシージャでガマンしてやってみました。

その備忘です。


DELIMITER //
CREATE PROCEDURE curdemo()
BEGIN
DECLARE done INT DEFAULT 0;
DECLARE md date;
DECLARE cur1 CURSOR FOR SELECT DISTINCT DATE_FORMAT(fy, '%Y-%m-01') FROM company order by fy;
DECLARE CONTINUE HANDLER FOR SQLSTATE '02000' SET done = 1;

OPEN cur1;

REPEAT
FETCH cur1 INTO md;
IF NOT done THEN
SET @Output := date_format(md,'%Y-%m');
set @q1 := concat("select * from company where fy like '",@output, "%' into outfile ""dump",@Output," .csv"" fields terminated by '\,' enclosed by '\"' lines terminated by '\\r\\n';");
prepare s1 from @q1;
execute s1;deallocate prepare s1;
END IF;
UNTIL done END REPEAT;

CLOSE cur1;
END
//
DELIMITER ;

これだけやるのにどんだけかかるねん。。。

Riskless portfolio

前回の続きからです.
原資産価格を元としたものはオプションや先物など、様々なものがあり、任意の一つを選んでF(S_{t},t)とする。また、オプション1単位をC(S_{t},t)とする.

この2つの証券を組み合わせたポートフォリオを考える.

\Pi:購入総額
w_{C}:Cを買う比率
w_{F}:Fを買う比率
w_{C}+w_{F}=1である.

とするとCを\frac{w_{C}{･}\Pi}{C}単位、Fを\frac{w_{F}{･}\Pi}{F}単位持ったポートフォリオは
\begin{align}\Pi &= w_{C}{･}\Pi+w_{F}{･}\Pi \\ &= \frac{w_{C}{･}\Pi}{C}{･}{C}+\frac{w_{F}{･}\Pi}{F}{･}{F} \end{align}
となる.

時間がtからt+dtに経過すると
\begin{align} \frac{d\Pi}{\Pi} &= \frac{\Pi_{t+dt} - \Pi_{t}}{\Pi_{t}} \\ &=\frac{1}{\Pi} \left\{ \frac{w_{C}{･}\Pi}{C}{･}{dC}+\frac{w_{F}{･}\Pi}{F}{･}{dF} \right\}\\ \end{align}

ここでCの\frac{w_{C}{･}\Pi}{C}単位、Fの\frac{w_{F}{･}\Pi}{F}単位は時刻tとS_{t}の関数であるが、dt時間内では定数として扱うものとする(自己充足的ポートフォリオの持つ性質).

さて、これら2証券は幾何ブラウン運動に従うものとする.
\frac{dC_{t}}{C}=\mu_{C}dt+\sigma_{C}dW_{t}
\frac{dF_{t}}{F}=\mu_{F}dt+\sigma_{F}dW_{t}

よって、先の式に代入し、
\frac{d\Pi}{\Pi}= (w_{C}{･}\mu_{C}+w_{F}{･}\mu_{F})dt+ (w_{C}{･}\sigma_{C}+w_{F}{･}\sigma_{F})dW_{t}

ここでリスクレスポートフォリオを考えるためw_{C}{･}\sigma_{C}+w_{F}{･}\sigma_{F}=0となるようなw_{C}とw_{F}を制約条件w_{C}+w_{F}=1をもとで選ぶと、

w^{*}_{C}=\frac{\sigma_{F}}{\sigma_{F}-\sigma{C}}
w^{*}_{F}=\frac{-\sigma_{C}}{\sigma_{F}-\sigma{C}}

このような投資比率w^{*}_{C}とw^{*}_{F}を持つポートフォリオ\Pi^{*}は
\frac{d\Pi}{\Pi}= (w_{C}{･}\mu_{C}+w_{F}{･}\mu_{F})dt
であり、ウィーナー過程の項が無い、つまり不確実変動の無いリスクレスポートフォリオとなる.

復習と備忘録

ブログ開始しました。

しばらくは復習&備忘録を書いていきたいと思います。

S_{t}: \text{t時点の株価指数} \hspace{5pt}(0\leq t < \infty)
とするとBSでの株価のSDEは
\begin{equation}dS_{t}=\mu{･}S_{t}{･}dt+\sigma{･}S_{t}{･}dW_{t}\end{equation}
を仮定する.尚、W_{t},(0\leq t < \infty)はウィーナー過程.
ここでこのSDEの解S_{t}のある汎関数F(S_{t},t)の従うSDEを計算する.
F(S_{t+dt},t+dt)=F(S_{t},t)+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}dS_{t}+\frac{\partial F}{\partial t}dt+{･･･}

伊藤の公式より

\begin{align}dF(S_{t},t)&\equiv F(S_{t+dt},t+dt)-F(S_{t},t)\\ &= \frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}dS_{t} + \frac{1}{2}\frac{{\partial}^2 F}{\partial {S_{t}}^2}(dS_{t})^2 \end{align}

ここで
dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW{t}
\begin{align}(dS_{t})^2 &=\mu^2{S_{t}}^2(dt)^2+2\mu\sigma(S_{t})^2(dt)(dW_{t})+\sigma^2{S_{t}}^2(dW_{t})^2\\&=\sigma^2{S_{t}}^2 dt \end{align}
より

dF(S_{t},t)= \left(\frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}\mu S_{t} + \frac{1}{2}\frac{{\partial}^2 F}{\partial {S_{t}}^2}\sigma^2(S_{t})^2 \right)dt+\frac{\partial F}{\partial S_{t}}\sigma S_{t}dW_{t}

よって、対数価格F(S_{t},t)=\ln(S_{t})とすると
\frac{d}{dS_{t}}F(S_{t},t)=\frac{1}{S_{t}}および\frac{d^2}{d{S_{t}}^2}F(S_{t},t)=\frac{-1}{{S_{t}}}^2より、

dF(S_{t},t)=(\mu-\frac{\sigma^2}{2}){･}dt+\sigma{･}dW_{t}

これは正規分布\Phi((\mu-\frac{\sigma^2}{2}),\sigma^2)に従う.

ここでT_{\{t\leq T}\}時点の株価は

\begin{align}\int^{T}_{t}dF_u&=F_{T}-F_{t}\\ &=\int^{T}_{t}(\mu-\frac{\sigma^2}{2})du+\int^{T}_{t}\sigma dW_{u}\\&=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma W\sqrt{T-t} \end{align}

S_{T}=S_{t}e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma W\sqrt{T-t}}